حل تمرین صفحه 39 ریاضی ششم

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۱ صفحه ۳۹ ریاضی ششم برای مرتب کردن کسرها، باید آن‌ها را **هم مخرج** کنیم یا به **کسر ساده شده** تبدیل کنیم تا مقایسه آسان شود. ### ۱. هم مخرج کردن کسرها کسرهای داده شده: $\mathbf{\frac{۳}{۵}}, \mathbf{\frac{۶}{۵}}, \mathbf{\frac{۲}{۱۰}}$. * **ساده‌سازی و هم مخرج کردن:** $\text{ک.م.م}$ $\text{۵}$ و $\text{۱۰}$، عدد $\mathbf{۱۰}$ است. 1. $\frac{۳}{۵} = \frac{۳ \times ۲}{۵ \times ۲} = \frac{۶}{۱۰}$ 2. $\frac{۶}{۵} = \frac{۶ \times ۲}{۵ \times ۲} = \frac{۱۲}{۱۰}$ 3. $\frac{۲}{۱۰} = \frac{۲}{۱۰}$ ### ۲. مرتب کردن کسرهای هم مخرج شده: $\mathbf{\frac{۶}{۱۰}, \frac{۱۲}{۱۰}, \frac{۲}{۱۰}}$ * **ترتیب از کوچک به بزرگ:** $\frac{۲}{۱۰} < \frac{۶}{۱۰} < \frac{۱۲}{۱۰}$ ### ۳. انتخاب گزینه صحیح * **ترتیب کسر اصلی:** $\mathbf{\frac{۲}{۱۰}} < \mathbf{\frac{۳}{۵}} < \mathbf{\frac{۶}{۵}}$ **پاسخ:** گزینه‌ی **ب** صحیح است.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۲ صفحه ۳۹ ریاضی ششم ### ۱. بررسی عبارت اول (جمع با مخرج مشترک) $$\frac{۲}{۵} + \frac{۱}{۵} = \frac{۲+۱}{۵}$$ * **نتیجه:** **درست** ✅. * **دلیل:** در جمع کسرها با مخرج مشترک، فقط **صورت‌ها** با هم جمع می‌شوند و مخرج ثابت باقی می‌ماند. ### ۲. بررسی عبارت دوم (جمع با مخرج متفاوت) $$\frac{۳}{۵} + \frac{۳}{۴} = \frac{۳}{۵+۴}$$ * **نتیجه:** **نادرست** ❌. * **دلیل:** در جمع کسرها با مخرج‌های نامساوی، **نباید مخرج‌ها را با هم جمع کرد**. ابتدا باید **هم مخرج** شوند ($athbf{\text{ک.م.م}}$ $\text{۵}$ و $\text{۴}$، یعنی $athbf{۲۰}$)، سپس صورت‌های معادل را جمع کرد. ($rac{۱۲}{۲۰} + \frac{۱۵}{۲۰} = \frac{۲۷}{۲۰}$)

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۳ صفحه ۳۹ ریاضی ششم برای پیدا کردن کسری که با بقیه برابر نیست، باید همه‌ی کسرها را به **ساده‌ترین شکل ممکن** تبدیل کنیم. | کسر اصلی | تقسیم بر $\mathbf{\text{ب.م.م}}$ (بزرگترین مقسوم علیه مشترک) | کسر ساده شده | |:---:|:---:|:---:| | $\frac{۳۰}{۴۲}$ | $\text{۳۰} \div \mathbf{۶}$ و $\text{۴۲} \div \mathbf{۶}$ | $\mathbf{\frac{۵}{۷}}$ | | $\frac{۱۰}{۱۴}$ | $\text{۱۰} \div \mathbf{۲}$ و $\text{۱۴} \div \mathbf{۲}$ | $\mathbf{\frac{۵}{۷}}$ | | $\frac{۱۵}{۳۵}$ | $\text{۱۵} \div \mathbf{۵}$ و $\text{۳۵} \div \mathbf{۵}$ | $\mathbf{\frac{۳}{۷}}$ | | $\frac{۳۵}{۴۹}$ | $\text{۳۵} \div \mathbf{۷}$ و $\text{۴۹} \div \mathbf{۷}$ | $\mathbf{\frac{۵}{۷}}$ | | $\frac{۲۰}{۲۸}$ | $\text{۲۰} \div \mathbf{۴}$ و $\text{۲۸} \div \mathbf{۴}$ | $\mathbf{\frac{۵}{۷}}$ | **نتیجه:** کسر $\mathbf{\frac{۱۵}{۳۵}}$ که ساده شده‌ی آن $\mathbf{\frac{۳}{۷}}$ است، با بقیه‌ی کسرها که ساده شده‌ی آن‌ها $\mathbf{\frac{۵}{۷}}$ است، برابر نیست. **پاسخ:** کسر **$\mathbf{\frac{۱۵}{۳۵}}$** با بقیه برابر نیست.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۴ صفحه ۳۹ ریاضی ششم برای محاسبه‌ی عبارت $۱\frac{۱}{۳} - \frac{۱}{۴} + \frac{۱}{۱۲}$، آسان‌ترین راه استفاده از روش **مخرج مشترک** است. ### روش الف: با مخرج مشترک گرفتن 1. **تبدیل عدد مخلوط به کسر:** $۱\frac{۱}{۳} = \frac{۴}{۳}$. 2. **پیدا کردن $\mathbf{\text{ک.م.م}}$:** مخرج‌ها $\text{۳}, \text{۴}, \text{۱۲}$ هستند. $\mathbf{\text{ک.م.م}}$ آن‌ها عدد $\mathbf{۱۲}$ است. 3. **هم مخرج کردن:** $$\frac{۴}{۳} = \frac{۴ \times ۴}{۳ \times ۴} = \frac{۱۶}{۱۲}$$ $$\frac{۱}{۴} = \frac{۱ \times ۳}{۴ \times ۳} = \frac{۳}{۱۲}$$ 4. **محاسبه:** $$۱\frac{۱}{۳} - \frac{۱}{۴} + \frac{۱}{۱۲} = \frac{۱۶}{۱۲} - \frac{۳}{۱۲} + \frac{۱}{۱۲}$$ $$\frac{۱۶ - ۳ + ۱}{۱۲} = \frac{۱۴}{۱۲}$$ 5. **ساده‌سازی و تبدیل:** $\frac{۱۴}{۱۲} = \frac{۷}{۶}$. $\text{۷} \div \text{۶} = \mathbf{۱}$ باقی‌مانده $athbf{۱}$. $$\mathbf{۱\frac{۱}{۶}}$$ *** **توضیح برای روش ب (محور) یا پ (شکل):** * **روش ب (محور):** ابتدا از $athbf{۰}$ تا $athbf{۱\frac{۱}{۳}}$ (یا $rac{۱۶}{۱۲}$) روی محور جلو می‌رویم. سپس $athbf{\frac{۱}{۴}}$ (یا $rac{۳}{۱۲}$) به عقب برمی‌گردیم و در نهایت $athbf{\frac{۱}{۱۲}}$ جلو می‌رویم. نقطه‌ی نهایی $athbf{۱\frac{۱}{۶}}$ را نشان می‌دهد. * **روش پ (شکل):** دو مستطیل تقسیم شده به $athbf{۱۲}$ قسمت را در نظر می‌گیریم. $athbf{۱۶}$ قسمت را رنگ می‌کنیم. $athbf{۳}$ قسمت را پاک می‌کنیم و سپس $athbf{۱}$ قسمت را اضافه می‌کنیم. $athbf{۱۴}$ قسمت رنگی باقی می‌ماند، یعنی $athbf{۱\frac{۲}{۱۲}}$ یا $athbf{۱\frac{۱}{۶}}$.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۵ صفحه ۳۹ ریاضی ششم ### الف) کسر مرکب (جمع و تفریق در صورت و مخرج) ابتدا صورت و مخرج کسر اصلی را جداگانه محاسبه می‌کنیم. $\mathbf{\text{ک.م.م}}$ $\text{۲}$ و $\text{۳}$، عدد $\mathbf{۶}$ است. $۱\frac{۱}{۲} = \frac{۳}{۲}$. 1. **محاسبه صورت:** $$\text{صورت} = \frac{۳}{۲} - \frac{۱}{۳} = \frac{۹}{۶} - \frac{۲}{۶} = \mathbf{\frac{۷}{۶}}$$ 2. **محاسبه مخرج:** $$\text{مخرج} = \frac{۳}{۲} + \frac{۱}{۳} = \frac{۹}{۶} + \frac{۲}{۶} = \mathbf{\frac{۱۱}{۶}}$$ 3. **تقسیم کسرها:** $$\frac{\frac{۷}{۶}}{\frac{۱۱}{۶}} = \frac{۷}{۶} \div \frac{۱۱}{۶} = \frac{۷}{۶} \times \frac{۶}{۱۱} = \mathbf{\frac{۷}{۱۱}}$$ **پاسخ (الف):** $\mathbf{\frac{۷}{۱۱}}$ *** ### ب) تقسیم کسرها (با ساده‌سازی) $$\frac{\frac{۱۲}{۳۶}}{\frac{۱۴}{۱۵}} = \frac{۱۲}{۳۶} \div \frac{۱۴}{۱۵}$$ 1. **ساده‌سازی کسرهای اولیه:** $\frac{۱۲}{۳۶} = \mathbf{\frac{۱}{۳}}$ و $\frac{۱۴}{۱۵}$ ساده نمی‌شود. $$\frac{۱}{۳} \div \frac{۱۴}{۱۵} = \frac{۱}{۳} \times \frac{۱۵}{۱۴}$$ 2. **ساده‌سازی و ضرب:** $ ext{۱۵}$ و $ ext{۳}$ بر $athbf{۳}$ ساده می‌شوند. $$\frac{۱}{\mathbf{۱}} \times \frac{\mathbf{۵}}{۱۴} = \mathbf{\frac{۵}{۱۴}}$$ **پاسخ (ب):** $\mathbf{\frac{۵}{۱۴}}$ *** ### پ) جمع و تفریق اعداد مخلوط $$۸\frac{۲}{۵} + ۱\frac{۳}{۴} - ۲\frac{۱}{۱۰}$$ 1. **هم مخرج کردن:** $\mathbf{\text{ک.م.م}}$ $\text{۵}, \text{۴}, \text{۱۰}$، عدد $\mathbf{۲۰}$ است. 2. **تبدیل قسمت‌های کسری:** $$\frac{۲}{۵} = \frac{۸}{۲۰}, \quad \frac{۳}{۴} = \frac{۱۵}{۲۰}, \quad \frac{۱}{۱۰} = \frac{۲}{۲۰}$$ 3. **جمع و تفریق قسمت‌های صحیح و کسری:** $$\text{صحیح:} \quad ۸ + ۱ - ۲ = \mathbf{۷}$$ $$\text{کسری:} \quad \frac{۸}{۲۰} + \frac{۱۵}{۲۰} - \frac{۲}{۲۰} = \frac{۸ + ۱۵ - ۲}{۲۰} = \frac{۲۱}{۲۰}$$ 4. **تبدیل کسر بزرگ‌تر از واحد:** $\frac{۲۱}{۲۰} = \mathbf{۱}\frac{۱}{۲۰}$ 5. **نتیجه نهایی:** $$\text{۷} + ۱\frac{۱}{۲۰} = \mathbf{۸\frac{۱}{۲۰}}$$ **پاسخ (پ):** $\mathbf{۸\frac{۱}{۲۰}}$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۶ صفحه ۳۹ ریاضی ششم برای پاسخ به این سوال، باید مقدار کل کیک مصرف شده را محاسبه کرده و آن را با $athbf{۱}$ (کل کیک) مقایسه کنیم. ### ۱. هم مخرج کردن و جمع کسرها * **جمع کسرها:** $\frac{۱}{۶} + \frac{۱}{۱۲} + \frac{۱}{۲} + \frac{۱}{۴}$ * **$\mathbf{\text{ک.م.م}}$:** $\text{۶}, \text{۱۲}, \text{۲}, \text{۴}$. $\mathbf{\text{ک.م.م}}$ آن‌ها عدد $athbf{۱۲}$ است. $$\frac{۱}{۶} + \frac{۱}{۱۲} + \frac{۱}{۲} + \frac{۱}{۴} = \frac{۲}{۱۲} + \frac{۱}{۱۲} + \frac{۶}{۱۲} + \frac{۳}{۱۲}$$ $$\frac{۲ + ۱ + ۶ + ۳}{۱۲} = \frac{۱۲}{۱۲}$$ ### ۲. نتیجه‌گیری * **کل مصرف شده:** $\mathbf{\frac{۱۲}{۱۲}}$ (یک واحد کامل) * **مقدار باقی‌مانده:** $۱ - \frac{۱۲}{۱۲} = \mathbf{۰}$ **پاسخ:** خیر، **چیزی از کیک باقی نمانده است**؛ تمام کیک مصرف شده است.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۷ صفحه ۳۹ ریاضی ششم برای مرتب کردن این مجموعه اعداد (کسر، اعشار، عدد مخلوط)، بهترین راه این است که همه را به صورت **اعشاری** بنویسیم تا مقایسه‌ی آن‌ها آسان شود. ### ۱. تبدیل به عدد اعشاری | عدد اصلی | تبدیل (اعشاری یا مخلوط) | |:---:|:---:| | $\frac{۲}{۷}$ | $\text{۲} \div \text{۷} \approx \mathbf{۰.۲۸}$ | | $\frac{۵}{۲}$ | $۲\frac{۱}{۲} = \mathbf{۲.۵}$ | | $\text{۰.۱}$ | $\mathbf{۰.۱}$ | | $۲\frac{۱}{۳}$ | $\mathbf{۲.۳۳}$ | | $\frac{۴}{۵}$ | $\text{۰.۸}$ | | $\text{۰.۷}$ | $\mathbf{۰.۷}$ | | $۱\frac{۱}{۵}$ | $\text{۱.۲}$ | ### ۲. مرتب کردن از کوچک به بزرگ اعداد اعشاری مرتب شده: $$\text{۰.۱} < \text{۰.۲۸} < \text{۰.۷} < \text{۰.۸} < \text{۱.۲} < \text{۲.۳۳} < \text{۲.۵}$$ ### ۳. نوشتن ترتیب نهایی (اعداد اصلی) $$\mathbf{۰.۱} < \mathbf{\frac{۲}{۷}} < \mathbf{۰.۷} < \mathbf{\frac{۴}{۵}} < \mathbf{۱\frac{۱}{۵}} < \mathbf{۲\frac{۱}{۳}} < \mathbf{\frac{۵}{۲}}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۸ صفحه ۳۹ ریاضی ششم **پاسخ:** بله، امکان دارد. ✅ ### توضیح: **مقدار کسری** یک پول، به **کل مقدار پول** بستگی دارد. حتی اگر $\frac{۱}{۳}$ (یک سوم) به طور کلی از $\frac{۱}{۲}$ (نصف) کوچکتر باشد، اما اگر کل پول شما **خیلی بیشتر** از کل پول دوستتان باشد، آنگاه $\frac{۱}{۳}$ پول شما می‌تواند از $\frac{۱}{۲}$ پول دوستتان بیشتر باشد. * **مقدار پول شما:** $\frac{۱}{۳} \times \text{پول شما}$ * **مقدار پول دوستتان:** $\frac{۱}{۲} \times \text{پول دوستتان}$ برای اینکه $\frac{۱}{۳}$ پول شما $>$ $\frac{۱}{۲}$ پول دوستتان باشد، پول شما باید بیشتر از $1.5$ برابر پول دوستتان باشد. ### مثال عددی * **پول شما:** $\mathbf{۶,۰۰۰}$ تومان * **پول دوست شما:** $\mathbf{۲,۰۰۰}$ تومان 1. **محاسبه $\mathbf{\frac{۱}{۳}}$ پول شما:** $$\frac{۱}{۳} \times ۶,۰۰۰ = \mathbf{۲,۰۰۰} \text{ تومان}$$ 2. **محاسبه $\mathbf{\frac{۱}{۲}}$ پول دوستتان:** $$\frac{۱}{۲} \times ۲,۰۰۰ = \mathbf{۱,۰۰۰} \text{ تومان}$$ **نتیجه:** در این حالت، $athbf{۲,۰۰۰}$ تومان ($\frac{۱}{۳}$ پول شما) $\mathbf{>}$ $athbf{۱,۰۰۰}$ تومان (نصف پول دوستتان) است. ---

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۹ صفحه ۳۹ ریاضی ششم شکل داده شده، مقدار **$\mathbf{\frac{۱}{۴}}$** از یک واحد کامل را نشان می‌دهد. مسئله‌ی ما باید با این کسر مرتبط باشد. ### ۱. طرح مسئله (مسئله‌ی کسر) **مسئله پیشنهادی:** «مریم یک کیک مستطیلی را به $\mathbf{۴}$ قسمت مساوی تقسیم کرد. او $\mathbf{۱}$ قسمت از $\mathbf{۴}$ قسمت را به برادرش هدیه داد. الف) **چه کسری از کل کیک باقی مانده است؟** ب) **اگر وزن کل کیک $\mathbf{۸۰۰}$ گرم باشد، وزن کیک باقی‌مانده چند گرم است؟**» ### ۲. حل مسئله **الف) کسر باقی‌مانده:** $$\text{کل کیک} - \text{قسمت هدیه داده شده} = ۱ - \frac{۱}{۴} = \mathbf{\frac{۳}{۴}}$$ **ب) وزن باقی‌مانده:** ( $\frac{۳}{۴}$ از $ ext{۸۰۰}$ گرم) $$\frac{۳}{۴} \times ۸۰۰ = \frac{۳ \times ۸۰۰}{۴} = \frac{۲,۴۰۰}{۴} = \mathbf{۶۰۰} \text{ گرم}$$ **پاسخ:** $athbf{\frac{۳}{۴}}$ کیک باقی مانده است، که معادل $athbf{۶۰۰}$ گرم است.